Suma y sigue

Hasta ahora todas las entradas del blog han tratado sobre educación, así que ya va tocando hablar un poco sobre mi campo, las matemáticas. Vamos a hablar sobre algo que todos sabemos hacer: sumar.

La suma es la operación aritmética más básica que hay. Todos sabemos sumar dos, tres, cuatro o quinientos números (aunque tantos da bastante pereza). ¿Pero y si tuviesemos que sumar infinitos números? Esta idea da lugar al concepto de serie, que es una suma de infinitos términos de una sucesión. Las series son un concepto de gran relevancia en las matemáticas, particularmente en el análisis matemático (mi rama favorita).

A priori puede parecer que si sumamos infinitos números nunca llegaríamos a obtener otro número, como mucho infinito, pero resulta que no tiene por qué ser así. Por ejemplo, imaginad que vamos sumando un medio, un cuarto, un octavo, y así sucesivamente (es decir, vamos sumando 1/2^n donde n recorre los números naturales 1, 2, 3...). Cada vez vamos sumando un número más pequeño, y la suma se va acercando más y más a 1 pero sin llegar nunca a alcanzarlo. En este caso lo que se dice es que la serie converge al valor 1.

Una definición algo más formal de convergencia de una serie es la siguiente:

Intuitivamente, lo que queremos decir es que nos podemos acercar al número l tanto como queramos sumando solamente una cantidad finita de términos de la sucesión.

Existen varios criterios para determinar si una serie converge, y aunque no hablaré de ellos si que voy a explicar brevemente un tipo de series de las más utilizadas: las series geométricas. Las series geométricas son las series en las que se van sumando las potencias sucesivas de un número. Para estas series no es muy complicado ver cuándo convergen y, en caso de hacerlo, a qué número lo hacen: