La proporción Auri(a)

Hoy vamos a regresar a las matemáticas y hablar de lo que es la proporción aúrea o divina, un número estudiado desde la antigua Grecia y que podemos encontrar en la naturaleza, en cualquier tarjeta de nuestra cartera o en mi gata Auri (más o menos).

El número aúreo fue definido por Euclides en el Libro Sexto de Los Elementos, y viene a ser la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b) tales que la suma de sus longitudes es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito en una ecuación lo que tendríamos es que (a+b)/a = a/b, y de aquí se puede deducir el valor de este número que se suele representar con la letra griega phi.

Aproximadamente, el valor de este número es 1.6180 (aunque tiene infinitos decimales, igual que el número pi). Si dibujamos un rectángulo cuyos lados mantengan la proporción aúrea, podremos dividirlo en un cuadrado y otro rectángulo más pequeño que también resultará tener la proporción aúrea. Haciendo esto infinitas veces y trazando el arco de circunferencia que une los dos extremos de cada cuadrado, obtenemos la famosa espiral aúrea o dorada.

La razón aúrea también guarda una relación muy interesante con una de las sucesiones de números más famosas de las matemáticas, la sucesión de Fibonacci. Esta se obtiene tomando F_0 = 0, F_1 = 1 y a partir de ahí definiendo cada elemento de la sucesión como la suma de los dos anteriores, es decir, F_N = F_(N-1)+F_(N-2). Se puede probar que el límite de los cocientes entre números de Fibonacci sucesivos (F_(N+1)/F_N) es precisamente el número aúreo, y además la fórmula de Binet nos permite expresar cada término de la sucesión de Fibonacci en función de phi:

Esto último es algo más difícil de demostrar, así que dejo a quién quiera que lo intente por su cuenta. Con que os quedéis con que los gatos son perfectos como conclusión de este post me doy por satisfecho.